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解析例・計算例

浄水場配水池の耐震解析 ― 3次元FEMによる静的弾性解析

浄水場配水池・PCタンク FEM解析応答変位法断面照査・補強設計静的解析・照査

ISSUE

課題・ご依頼の背景

2池式の地下式RC配水池では、中壁や直交する側壁が地震時の応力分担に影響しますが、奥行1mの2次元断面モデルではこの効果を評価できません。立体モデルで分担の実態と2次元化による差を確認することを目的としました。

SCOPE

担当範囲

3次元FEMモデルの作成（平板シェル要素・平板地盤ばね）、常時3ケース・L1地震時2ケース（応答変位法）の静的弾性解析、2次元帯モデル・中壁なしモデルとの比較、許容応力度法による曲げ照査。

RESULT

成果・結果

L1地震時の側壁基部の曲げモーメントは2次元帯の約0.67倍、頂版接合部は約2.7倍となり、2次元化では過大・過小の両方が生じることを確認しました。中壁はその方向の面内せん断力の約52%を負担しています。想定配筋で全部材の照査を満足しました（最大応力度比0.92：中壁・片池空水時）。

2池式・地下式の矩形RC配水池を対象に、躯体全体をシェル要素で立体的にモデル化し、常時とレベル1地震時（応答変位法）の静的弾性解析を行いました。荷重の算定、断面力の抽出、許容応力度法による照査、奥行1mの2次元帯モデルとの比較までを、数値を追える形で掲載します。

掲載事例について

本ページの施設構成・寸法・地盤条件・荷重条件は、技術説明のために設定した仮想事例（仮定値）であり、実案件の情報は含みません。数値は社内の3次元骨組・平板解析プログラムによる試算結果です。別の社内FEMプログラムでも同一条件で解析し、主要着目点の断面力の差が3%以内であることを確認しています。指針の規定値・係数は、実設計では適用基準と地盤調査結果に基づき個別に設定します。

節点数

2,492

シェル要素数

2,520

地盤ばね設定要素

2,300

荷重ケース

5（＋比較5）

最大応力度比

0.92

検討対象と解析の目的

構造形式	RC造地下式矩形配水池（2池）
平面寸法（部材中心）	30.0 m × 20.0 m（1池 15.0 m × 20.0 m）
高さ（底版〜頂版中心）	5.5 m（有効水深 4.5 m）
土被り	1.0 m（頂版上面〜地表面）
部材厚	頂版 0.35 m／側壁 0.50 m／中壁 0.40 m／底版 0.70 m
中柱	□500 mm × 12本（5.0 m 間隔）
解析手法	3次元FEM 静的弾性解析（常時・L1地震時）

この解析で確認したこと

中壁が「耐震壁」として負担する面内せん断力の割合
側壁の板としての挙動（隅角部の水平曲げ、奥行方向の断面力分布）
奥行1mの2次元帯モデルとの差（どこで大きく、どこで小さいか）
想定配筋による許容応力度照査（常時・L1地震時）

配水池の3次元FEM解析モデル。ワイヤーフレーム表示で中壁を着色し、中柱12本を示す — 図-1　解析モデル（手前の側壁は非表示、頂版は淡色。橙＝中壁、紺＝中柱）

設計条件（仮定値）

材料・許容応力度
コンクリート	σck = 24 N/mm²、Ec = 25 kN/mm²、ν = 0.2、γc = 24.5 kN/m³
鉄筋	SD345、ヤング係数比 n = 15
常時	σca = 8.0 N/mm²、σsa = 160 N/mm²（水密性を考慮した仮定値）
L1地震時	σca = 12.0 N/mm²、σsa = 240 N/mm²（常時の1.5倍）

地盤・地震動
土の単位体積重量	γt = 18.0 kN/m³、上載荷重 q = 10.0 kN/m²
静止土圧係数	K0 = 0.5（地下水位は底版下面以深）
地盤反力係数	kv = 40,000 kN/m³、kH = 20,000 kN/m³、せん断ばね ks = k/3
表層地盤	層厚 H = 20 m、平均せん断波速度 Vs = 150 m/s
L1地震動	応答速度 Sv = 0.25 m/s、設計水平震度 kh = 0.20

※ いずれもモデルケースとして設定した値です。Sv・kh・許容応力度・地盤反力係数は、実設計では適用する指針（水道施設耐震工法指針・解説等）の規定と地盤調査結果から個別に定めます。

解析モデルと境界条件

POINT 01

部材中心線によるシェルモデル

頂版・側壁・中壁・底版を4節点平板シェル要素（Mindlin 板理論、せん断変形考慮、水平1.0 m × 鉛直0.5 m）で分割し、中柱は梁要素としました。部材の交差部は節点を共有させ、剛域・ハンチは考慮していません。

POINT 02

地盤ばね（節点の支配面積で換算）

平板地盤ばねとして、底版は法線 kv・面内 kv/3、側壁は法線 kH・面内 kH/3、頂版は面内 kH/3 を各要素に設定し、支配面積に応じて節点ばねに換算しています。引張側のばね抜けは考慮しない線形解析です。

POINT 03

断面力の抽出と符号

各要素の中心で算出した断面力を用います。曲げモーメントは「内側引張を正」に統一しました。側壁基部の着目点は要素中心 z = 0.25 m です。

POINT 04

比較用の2次元帯モデル

同じプログラムで y = 10 m 断面を奥行1 m 切り出し、面外方向の変位・回転を拘束しました。中柱は奥行5 m 間隔の剛性を1 m 当たりに換算しています。荷重・ばねは3次元モデルと同一です。

荷重ケースと荷重の算定（計算過程）

ケース	区分	荷重の組合せ
C1	常時（満水）	躯体自重＋土被り・上載荷重＋静止土圧＋内水圧（両池満水）
C2	常時（空水）	躯体自重＋土被り・上載荷重＋静止土圧
C5	常時（片池空水）	C2 ＋右池のみ内水圧（中壁に片側から水圧が作用）
C3	L1地震時 X方向（満水）	C1 ＋応答変位法による地震時荷重（中壁に直交する方向）
C4	L1地震時 Y方向（満水）	C1 ＋応答変位法による地震時荷重（中壁に平行な方向）
比較	2次元帯 C1・C2・C3／中壁なし C1・C4	モデル化の違いによる断面力・変位の差を確認

常時荷重

(1) 頂版の鉛直荷重

q = γt·h + q0 = 18.0 × 1.0 + 10.0 = 28.0 kN/m²

(2) 静止土圧　p = K0（γt·d ＋ q0）、d：地表面からの深さ

頂版中心 d = 1.175 m：0.5 ×（18.0 × 1.175 ＋ 10.0）= 15.6 kN/m²

底版中心 d = 6.675 m：0.5 ×（18.0 × 6.675 ＋ 10.0）= 65.1 kN/m²

(3) 内水圧（底版上面）

p = γw·Hw = 9.807 × 4.5 = 44.1 kN/m²

(4) 躯体自重（中心線モデルの体積）

W = 965.5 m³ × 24.5 = 23,655 kN

L1地震時荷重（応答変位法）

(5) 表層地盤の固有周期

Ts = 4H / Vs = 4 × 20 / 150 = 0.533 s

(6) 地表面の水平変位振幅

Uh = 2/π² · Sv · Ts = 0.2026 × 0.25 × 0.533 = 0.0270 m

(7) 地盤変位（側壁の法線ばねを介して作用）　u(d) = Uh·cos(πd/2H)

頂版中心と底版下面の相対変位 Δu = 0.0270 ×（0.9957 − 0.8516）= 3.89 mm

頂部の作用荷重 kH·Δu = 20,000 × 0.00389 = 77.9 kN/m²

(8) 周面せん断力　τ(d) = G·Uh·π/(2H)·sin(πd/2H)、G = γt/g·Vs² = 41,300 kN/m²

頂版 τU（d = 1.0 m）= 6.88 kN/m²、底版 τB（d = 7.025 m）= 45.9 kN/m²

側壁 τS =（τU ＋ τB）/ 2 = 26.4 kN/m²

(9) 躯体慣性力（各節点の質量に比例して配分）

kh·W = 0.20 × 23,655 = 4,731 kN

(10) 動水圧（Westergaard）　p(y) = 7/8·kh·γw·√(Hw·y)

底部 = 7/8 × 0.20 × 9.807 × √(4.5 × 4.5) = 7.72 kN/m²

合力 = 7/12·kh·γw·Hw² = 23.2 kN/m（各池の両端壁、中壁は両池分）

周面せん断力の向き：頂版は地盤変位の方向、底版は逆方向に作用させ、側壁の鉛直せん断力は両者の偶力を打ち消す向きとしました。地盤ばねの反力により、構造全体の釣合いが保たれます。土圧・水圧・地盤変位・動水圧は高さ方向の分布表（0.05 m 刻み）として入力し、各節点位置で評価しています。

解析結果①　常時 ─ 釣合いの確認と2次元との一致

解析結果を使う前に、載荷した鉛直荷重の合計と地盤ばね反力の合計が一致することを確認しました。手計算の荷重合計とも一致しています。

ケース	躯体自重	頂版荷重	内水重量	荷重合計（手計算）	ばね反力合計（解析）
C1 満水	23,655 kN	16,800 kN	26,478 kN	66,933 kN	66,933 kN
C2 空水	23,655 kN	16,800 kN	─	40,455 kN	40,455 kN

頂版荷重 = 28.0 kN/m² × 600 m²、内水重量 = 44.1 kN/m² × 600 m²。

図-2　側壁の鉛直曲げモーメント（奥行中央）　━ 3次元　┅ 2次元帯

奥行中央（y = 10 m）では、3次元と2次元帯の鉛直曲げモーメントはほぼ一致します（基部 −67.3 と −66.6 kN·m/m）。常時の土圧・水圧に対しては、奥行中央の評価に2次元帯モデルが使えることを確認できます。

一方、隅角部に近づくと側壁基部の鉛直曲げは小さくなり（y = 0.5 m で −14.1 kN·m/m）、代わって水平方向の曲げ（−27.8 kN·m/m）が生じます。側壁が三辺で支持された板として働くためで、2次元帯モデルでは現れない断面力です。

隅角部付近の水平方向鉄筋は、2次元の結果からは決まりません。3次元解析の水平曲げで確認するか、別途の検討が必要です。

解析結果②　L1地震時 X方向 ─ 側壁は板として働く

L1地震時X方向の変形図。変形前を灰色、変形後を青で300倍に拡大して表示 — 図-3　変形図 C3（灰＝変形前、青＝変形後、変位×300。手前の側壁と頂版は非表示）

地震時に土圧側となる側壁の鉛直曲げモーメント分布図。基部中央で外側引張が最大、隅角部で小さい — 図-4　側壁（x = 0）の鉛直曲げモーメント分布 C3（紺＝外側引張、橙＝内側引張）

図-5　側壁の鉛直曲げモーメント（奥行中央）　━ 3次元　┅ 2次元帯

地震時の地盤変位を受ける側壁の基部では、3次元の曲げモーメントは2次元帯の約0.67倍（−159.3／−237.1 kN·m/m）にとどまりました。直交する側壁と頂版が側壁を拘束し、荷重の一部が奥行方向へ伝わるためです。

一方で、壁の中間高さでは1.29倍、頂部（頂版との接合部付近）では3次元の方が大きくなります。頂版が水平面内に硬い板（ダイアフラム）として働き、側壁頂部の水平変位を抑えるためです。

2次元帯モデルは「どこでも安全側」とは限りません。基部は過大、頂部・中間は過小に評価される傾向が、この条件では確認されました。

図-6　側壁基部（z = 0.25 m）の鉛直曲げモーメントの奥行方向分布 C3。2次元帯モデルの値は奥行方向に一定となる

解析結果③　L1地震時 Y方向 ─ 中壁は耐震壁として働く

中壁に平行な方向（Y方向）の地震時について、同じ条件で中壁を取り除いた比較モデルを作り、壁の中間高さ（z = 2.75 m）で各壁が受け持つ面内せん断力を集計しました。

図-7　Y方向地震時（C4）の面内せん断力の分担率

頂版の相対水平変位の平面分布。中壁ありは最大0.81ミリ、中壁なしは最大2.13ミリ — 図-8　頂版の相対水平変位（頂版−底版）の平面分布 C4。橙線＝中壁、紺点＝中柱

中壁の面内せん断分担率

52.1%

側壁2面の合計（47.4%）を上回る

頂版の相対水平変位（最大）

0.81 mm

中壁なしでは 2.13 mm（約2.6倍）

中壁位置（x = 15 m, y = 10 m）

0.48 mm

中壁なしでは 2.11 mm（約4.4倍）

中壁は単なる隔壁ではなく、平行方向の地震力の過半を受け持つ耐震壁として働いています。中壁に開口・目地を設ける場合や、補強工法で中壁を改変する場合には、この面内せん断力の伝達を前提とした検討が必要です。2次元断面のモデルでは、この分担は評価できません。

断面照査（許容応力度法）

照査式（単鉄筋矩形断面、b = 1000 mm、n = 15）

k = √(2np ＋ (np)²) − np、j = 1 − k/3
σc = 2M /（k·j·b·d²）、σs = M /（As·j·d）
応力度比 = max（σc/σca、σs/σsa）

軸力は無視しています（各部材とも圧縮軸力が作用するため安全側）。

検算例：側壁基部 L1地震時（M = 159.3 kN·m/m、D19@125、d = 400 mm）

As = 2,292 mm²、p = 0.00573、np = 0.0860
k = 0.3375、j = 0.8875
σc = 2 × 159.3×10⁶ /（0.3375 × 0.8875 × 1000 × 400²）= 6.65 ≦ 12.0
σs = 159.3×10⁶ /（2,292 × 0.8875 × 400）= 195.8 ≦ 240

部材	区分	引張側	最大値の発生ケース・位置	M [kN·m/m]	t／d [mm]	配筋（仮定）	σc／σca	σs／σsa	応力度比	判定
側壁	常時	内側	C2・鉛直方向	39.6	500／400	D19@125	1.65／8.0	48.7／160	0.30	OK
側壁	常時	外側	C5・鉛直方向	81.4	500／400	D19@125	3.40／8.0	100.1／160	0.63	OK
側壁	L1地震時	内側	C3・鉛直方向	110.8	500／400	D19@125	4.63／12.0	136.2／240	0.57	OK
側壁	L1地震時	外側	C3・鉛直方向（基部）	159.3	500／400	D19@125	6.65／12.0	195.8／240	0.82	OK
中壁	常時	片側	C5（片池空水）・鉛直方向	62.8	400／300	D16@125	4.79／8.0	147.8／160	0.92	OK
中壁	L1地震時	片側	C3・鉛直方向	41.3	400／300	D16@125	3.15／12.0	97.2／240	0.41	OK
頂版	常時	内側	C5・X方向	52.8	350／270	D19@125	4.24／8.0	98.2／160	0.61	OK
頂版	常時	外側	C5・Y方向	66.1	350／270	D19@125	5.31／8.0	123.0／160	0.77	OK
頂版	L1地震時	内側	C3・X方向	53.9	350／270	D19@125	4.33／12.0	100.2／240	0.42	OK
頂版	L1地震時	外側	C4・Y方向	72.1	350／270	D19@125	5.79／12.0	134.1／240	0.56	OK
底版	常時	内側	C5・X方向	58.0	700／600	D19@125	1.24／8.0	46.6／160	0.29	OK
底版	常時	外側	C5・X方向	85.2	700／600	D19@125	1.83／8.0	68.5／160	0.43	OK
底版	L1地震時	内側	C3・X方向	128.0	700／600	D19@125	2.75／12.0	102.9／240	0.43	OK
底版	L1地震時	外側	C3・X方向	142.3	700／600	D19@125	3.06／12.0	114.4／240	0.48	OK

M は各部材・各区分の全要素から抽出した最大値（要素中心値）です。中壁は両池満水では左右の水圧が釣り合うため、片池空水（C5）が支配ケースとなりました（応力度比 0.92）。かぶりは鉄筋中心まで 100 mm（頂版 80 mm）としています。

2次元帯モデルとの比較（L1地震時 X方向、y = 10 m）

着目位置	2次元帯 M	3次元 M	比（3次元／2次元）	σs 2次元	σs 3次元
側壁基部	−237.1	−159.3	0.67	291.3	195.8
側壁中間高さ	82.0	106.2	1.29	100.8	130.5
中壁基部	−92.8	−41.3	0.44	218.6	97.2
頂版側壁接合部	−25.4	−67.4	2.65	47.3	125.4
底版側壁接合部	−210.7	−142.0	0.67	169.4	114.1

M の単位は kN·m/m、σs の単位は N/mm²（08 と同じ配筋で算定。L1 の σsa = 240 N/mm²）。2次元帯だけで評価すると側壁基部は σs = 291.3 N/mm² となり配筋の増加が必要と判断されますが、3次元では 195.8 N/mm² です。反対に頂版の側壁接合部は、3次元で約2.7倍の曲げモーメントとなります。